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8 de febrero de 2007

Fractales I: Introducción

Quién más quién menos, todo el mundo ha visto alguna vez un fractal o tiene cierta idea de lo que es. Quizá muchos hayan visto más de uno, pero ni siquiera sean conscientes porque no han oído hablar de ellos. Los fractales son unas figuras geométricas que me apasionan desde hace tiempo, y a los cuales rendiré homenaje hoy con este post.

He estado mirando bastantes páginas sobre el tema, y la mejor definición que he encontrado es en el artículo de la Wikipedia dedicado a ellos.

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas.

Como todos sabemos que una imagen vale más que mil palabras, os pondré dos, que por lo tanto valen más de dos mil palabras.

Son respectivamente el Conjunto de Mandelbrot y el Conjunto de Julia (en la versión inglesa hay muchas más imágenes del mismo), dos de los fractales más famosos y característicos. Pese a parecer tan distintos pertenecen a la misma familia de conjuntos, como bien ha apuntado Soccerologist en los comentarios, teniendo el Conjunto de Mandelbrot cuando los conjuntos pertenecientes al de Julia son conexos.
El segundo me gusta enormemente como ejemplo porque va acercándose y ayuda a observar la propiedad mencionada antes: Por más que se cambie de escala, siempre se repite la misma estructura. Es decir, puedes ampliar o alejar de ti todo lo que quieras la imagen, pero siempre verás los mismos trazos.

Los fractales en matemáticas tienen una historia ciertamente corta. Los popularizó Benoît Mandelbrot en 1975 aprovechándose del ordenador, ya que es una herramienta ideal para dibujar fractales; pero quién empezó a investigarlos fue Gaston Julia a principios del siglo XX, basándose en las ideas de Henri Poincaré, el cual los concibió por primera vez hacia 1890.

Cuando observamos la naturaleza no acostumbramos a encontrar círculos perfectos con una circunferencia dos pi veces su radio, ni líneas paralelas o perpendiculares milimétricamente rectas; lo más común es ver formas irregulares y aparentemente caóticas que pueden ser, en muchos casos, mejor definidas por la geometría fractal que por la euclídea a la que estamos acostumbrados. El crecimiento de un árbol —el ejemplo más claro es el famoso Drago tan popular en Canarias—, el sistema circulatorio con sus vasos sanguíneos, o una montaña son ejemplos claros que se aproximan más a objetos definidos por fractales que euclídeamente.

Por ejemplo, observad como este gif modela la cara de una montaña basándose en un sencillo fractal.

Respecto al nombre, escogido por Mandelbrot, viene del latín fractus, que significa fracturado, roto, irregular. El mismo Benoît aseguró que «Quería recoger la impresión de una piedra que golpeas, y se fractura. De ese fractus latín surgió el fractal. La terminación se debió a que quería que funcionara en inglés y francés».

Los fractales, pese a la importancia que tienen —y que más adelante veremos— han sido siempre apartados del temario escolar, motivo por el cual, en 1996 el profesor de matemáticas Miguel Zapata escribió un trabajo publicado en la UNED indicando sus reflexiones por las cuales los fractales deberían ser enseñados en Secundaria en las asignaturas de matemáticas e informática.


Esta figura muestra el proceso de creación del Triángulo de Sierpinski, el cual es una de las aplicaciones más directas de los fractales en la vida real; pues es utilizado en telecomunicaciones para hacer las antenas de los móviles.
Otra aplicación en la que se está investigando con fractales es en la compresión de datos en ordenadores, especialmente imágenes. Si se consigue desarrollar una fórmula que repetida recursivamente devuelva la información original, se podrían almacenar datos en un espacio muchísimo menor.
Los fractales también pueden ser utilizados como un recurso artístico de gran valor, consiguiendo preciosas imágenes con ellos (en esta página hay montones a gran resolución). E incluso hay quién ha compuesto partituras de forma fractal.

Como esto ya queda demasiado largo iré escribiendo otras entregas mostrando los fractales más famosos y otras curiosidades sobre ellos que vaya encontrando.

Fuentes: (todas las imágenes han sido extraídas de la Wikipedia)
Triángulo de Sierpinksi (inglés)
Zona Fractal

4 comentarios:

omalaled dijo...

¿Largo? a mí se me ha hecho corto :-)

Espero impaciente esas otras entradas sobre fractales.

Salud!

Ender Muab'Dib dijo...

Jejeje, cuando el tema nos interesa todo nos parece demasiado corto :p.

Bueno, esta semana sacaré alguno nuevo.

Encantado de que te haya gustado ;)

Saludos!

Soccerologist dijo...

Muy bien por tu artículo, Enderino. Si yo fuese tu profesor de Análisis Complejo te pondría un 7 por la portentosa explicación... que bajaría a un 4 debido a que me has puesto el Conjunto de Mandelbrot y "el" Conjunto de Julia por separado.

Los Conjuntos de Julia son una familia de conjuntos (=D) que al ser expresados en forma de funciones holomorfas en un ordeandor dan estos bellos dibujos. De ellos, el Conjunto de Mandelbrot es un caso particular que ha adquirido fama a lo largo del tiempo debido a, como bien comentas, su 'descubridor' (yo lo llamaría más bien divulgador).

Bien, un ejemplo de la utilidad del Triangulo de Sierpinski que todos conocemos: miren cómo está hecha la Torre Eiffel.

Ender Muab'Dib dijo...

Gracias por el apunte, espero que con la corrección que he hecho ya esté aprobado ;).

Por cierto, genial simil entre Sierpinski y la Torre Eiffel.

Saludos!